Conclusion

Bueno en este periodo que trabajamos sucesiones y limites, me parecieron temas sinceramente muy dificiles, aunque aveces si sabia como era, pero otras la mayoria no tenia ni idea,y ademas perdimos muchas clases,y no es lo mismo ver videos ke el mismo profesor le aclare las dudas a uno, eso tambien tiene que ver en ke la mayoria,ni idea de que se trataba ese tema....me parecieron temas muy complejos ...pero siempre estan duritos de hacer...pero hay se les hizo el intento ..aunke la mayoria hallan quedado malos...pero bueno lo ke cuenta es la intension.....:)

Ejercicios de limites

Limites

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar).

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

Progresiones geometricas

Una sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.

Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:
Así quedaría si queremos saber el sexto término de nuestra progresión


La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.

La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.

La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.

Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7

Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.

Ejemplos

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.

Si conocemos el primer término.
an = a1 · rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n

an = ak · rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 · rn-4
an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n

Progresiones aritmeticas

En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.

El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.
Fórmula del término general de una progresion aritmetica: (d=diferencia)





Ejemplos

1) Notemos la sucesión: –13, –19, –25, –31, –43, –49, –55,…
La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general sería –6n + b.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, –6(1) + b = –13, y por lo tanto b = –7.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: –6n – 7.

Si queremos encontrar el término 16 de la sucesión, sustituimos 16 en la anterior fórmula:
–6(16) – 7 = –103. De modo que el término 16 de la sucesión tiene el valor de –103.
Si queremos encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula , con a = –6, b = –7 y n = 30


sucesión aritmética: –7, –1, 5, 11, 17, 23, 29, …

1) Encontrar el término 24.
2) Encontrar la suma de los primeros 32 términos.
Sea la sucesión aritmética: –3.5, –7.5, –11.5, –15.5, –19.5, –23.5, –27.5, …
3) Encontrar el término 33.
4) Encontrar la suma de los primeros 32 términos.
1.R/=131
2.R/=2752

3.R/=-131.5

4.R/=-2096

3) progresion aritmetica = 8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5
Si conocemos el 1er término. >
an = a1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Triangulo de pascal

BlAiSe PaScAl