Progresiones geometricas

Una sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.

Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:
Así quedaría si queremos saber el sexto término de nuestra progresión


La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.

La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.

La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.

Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7

Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.

Ejemplos

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.

Si conocemos el primer término.
an = a1 · rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n

an = ak · rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 · rn-4
an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n